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等价无穷小替换公式的使用条件(泰勒公式与等价无穷小搭配,解题速度会很快)

高等数学中有一个概念,是大家既熟悉又害怕,既陌生又不得不面对的公式,这个公式就叫做泰勒公式!

今天,题主就带大家走进泰勒公式,来看看泰勒公式究竟是什么!

泰勒公式,从概念上来说,指的是用函数在某点信息描述其附近取值的公式。

它的形式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

这么一看,我们往往在求极限的时候会用到泰勒公式,因此在上述条件下,便可以使用泰勒公式。

其实这样讲了也很难搞懂,我们可以这样理解:

如果函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立一个式子,这便是能够使用泰勒公式的最重要的条件!!!

等价无穷小替换公式的使用条件(泰勒公式与等价无穷小搭配,解题速度会很快) 第1张

图一

如图所示,便能成立该式子,正如我上面所讲,在用泰勒公式的时候一定要注意好条件,不能够随便使用!

常见的泰勒公式这里我也就不多讲了,大家可以自己推导一下,实在理解不了,便可以进行记忆。

等价无穷小,从字面意思上进行理解,就是在同一个点上,两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的,从另一方面来说,等价无穷小也可以看作是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒公式。

接下来我们来看看一道实际例题。

等价无穷小替换公式的使用条件(泰勒公式与等价无穷小搭配,解题速度会很快) 第2张

图二

如图所示,这道题是2015年考研数学一的第一道大题,只要掌握泰勒公式便会觉得这道题难度不大。

我们可以写出ln(1+x)和sinx的泰勒公式,由于这里g(x)的幂为3,所以我们的sinx的泰勒展开式就只要写到x的3次方即可。

根据等价无穷小的概念可以得到1+a=0,b-a/2=0,a/3=k,最终得到结果。

总的来说,这道题难度不大,关键还是要知道泰勒公式的概念,如果不知道泰勒公式的概念,那么连考研的基本分也就很难拿到了。

实在理解不了,就进行记忆,这样的话,至少简单一点难度的考研题也能够解决,但最好能够理解,这样能够帮助你做题。


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